数学史上的三次危机 引发第三次数学危机的人——罗素 模糊数学 数学发展的规律和趋势 布尔代数 高次方程有求根公式吗 布尔代数简介 四色猜想
数学的发展史同人类社会发展史一样，总是充满着矛盾，当矛盾激化到危及数学的基础时，就会产生危机，历史上数学曾有三次大的危机。
第一次数学危机─—无理数的发现
早在公元前580——568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，即宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。但是该学派的成员希伯索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能够表示的，这一发现被人们看成是“荒谬”和违反常识的事，冲击了当时希腊人的传统见解，使古希腊的数学家们感到惊奇和不安，这一事件史称为第一次数学危机。
第二次数学危机——无穷小是零吗？
17世纪微积分刚一形成，就在各个领域里得到广泛应用，但是另一方面，微积分的理论还很不完善，在逻辑上前后矛盾。这些矛盾集中地体现在无穷小这个概念上，焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？这就是数学史上说的无穷小悖论。整个18世纪，对于微积分运算的研究具有一种“特殊的痛苦”，在数学界形成混乱局面，从而引发了数学史上的第二次危机。
第三次数学危机——罗素悖论的产生
自从康托的集合论建立后，集合的概念成为最基本、应用最广泛的一个概念。但罗素提出一个很生动的“理发师悖论”：某村上一位理发师宣称他“给而且只给不为自己刮脸的人刮脸”，那么他该不该给自己刮脸呢？如果“刮”，那么根据他的说法应该“不刮”；如果“不刮”，那么根据他的说法又该“刮”，于是，理发师陷入矛盾之中，罗素用“理发师悖论”形象地解释了集合论悖论，集合论中含有罗素悖论就难以作为数学的基础，就像一座大楼地基出现了问题，从而引发了数学史上的第三次危机。
每一次数学危机都给数学的发展带来了新的动力，伴随着一次次数学危机的出现和解决，推动着数学的发展，为数学增添新的内容和活力。
伯特兰•罗素（1872-1970）是英国哲学家、数学家，也是20世纪西方最著名、影响最大的学者和社会活动家。
罗素年幼时，父母相继去世，他是在祖母的照管和教育下长大的，是大自然、书本和数学把他从孤独和绝望中手工艺拯救出来。
1890年他考入剑桥大学。大学前三年，专攻数学，获数学荣誉学位考试第七名；第四年转攻哲学，获伦理科学荣誉考试第一名。作为一个数学家和逻辑学家，罗素的研究成果是具有开创性和划时代意义的，1901年他提出了以他名字命名的“罗素悖论”，这对20世纪初关于数学基础的论战产生过极大影响，导致第三次数学危机。罗素和a.n.怀特海合作，经过10年的奋战，写成三大卷的《数学原理》，对数理逻辑的发展产生了重要影响。这本书被公认为现代数理逻辑这门学科的奠基石。
1920年，罗素来到中国作了一年的讲学，对中国文化及中国人的思维方式、性格特征、行为习惯作了大量深入的考察和研究，他以自己特有的睿智、远见和洞察力，对传统的中国文化和文明作了深层次的分析、透视，孙中山先生称他是“唯一了解中国的外国人”。
罗素是一个具有强烈社会关怀的人道主义者、和平主义者，他一生热衷于政治活动和社会事物。50年代，他抗议氢弹试验，发表著名的《罗素——爱因斯坦宣言》，1968年发表声明抗议苏联入侵捷克斯洛伐克。
罗素进行科学研究长达
个世纪之久，他的著作多达60余种，在《罗素文集》中，《幸福之路》和《自由之路》最能体现他的风格，也是他的代表作。
由于他多方面的成就，他一生获得过多种荣誉。1949年，获得英王六世颁发的最高“荣誉勋章”；1950年，被授予诺贝尔文学奖；1960年，获丹麦索宁奖。瑞典科学院高度评价了他作为“人道主义与思想自由捍卫者”的斗争精神。
模糊数学的产生
现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。
人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。
模糊数学的研究内容
1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。
模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是
1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。
为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。
如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。
人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。
为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。
第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。
模糊数学的应用
模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。
目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。
模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。
一、数学发展的规律
在数学的发展过程中，包含着数学本身许多根本的变化，或者说是质的变化，而不是一些新定理的简单积累．但是这些质的变化不是用破坏和取消原有理论的方式，而是用深化和推广原理论的方式，用以前的发展作准备并提出新的概括理论的方式进行的．因此，数学发展时产生的新理论总是把先前的成就包括到自身中来，把先前的成就加以精确化、补充和推广．
数学发展的一般规律可以概括为以下几个方面：
1．数学不是任何一个历史时代、任何一个民族的单独产物，它是若干个时代、许多民族共同劳动的产物．数学最初的概念和原理早在远古时代就产生了，但是经过几千年世界各民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支重多、应用广泛的庞大系统．
2．数学越发展，它的领域越广阔，概念越抽象，分支越重多，应用越广泛．而它的基础也就更加深化、更加牢固．数学在自己的发展中把新的材料添加到已经形成的领域中，形成新的方向，升到新的高度，产生广阔的边缘学科，彼此互相渗透，并使它的基础更加深化和坚实．
3．社会实践在数学的发展中起着重要的作用．社会实践向数学提出新的问题，刺激数学向某个方向发展，并且提供验证数学结论的真实性的唯一标准．
从数学分析产生的这个例子可以清楚地看到这一点．正是力学和技术的发展提出了从一般的形态上研究变量间的依赖关系的问题．古代虽然也有朴素的极限思想，但是那时候的科学技术不发达，研究都停留在静力学和固定不变的范围内．到了研究运动的时候，变量的概念出现了，并且成了数学的研究对象，同时也产生了函数的概念．数学向研究变量和函数方面发展，随着就产生了微积分等数学分支．微积分的基本理论在实践中应用，证明它反映了科学技术发展的某些客观规律，而在中世纪以前，生产水平的客观实际没有也不可能提出这些问题，因此当时也不可能产生微积分．数学发展的各个时期、各个分支的产生和发展都说明了这一点．
4．数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的．整个数学就是围绕着这两个概念的提炼、演变和发展而发展的．数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个概念进行的．社会的不断发展，生产的不断提高，为数学提供了无穷的源泉和新颖的课题，促使数和形的概念不断深化，由此推动了数学的不断前进，形成了多种多样的分支，使数学这一科学日益壮大，在应用方面也越来越广泛深入．
5．数学以现实世界的空间形式和数量关系作为对象，为了在纯粹形态上研究这些形式和关系，必须和内容割裂开来．但是离开内容的形式和关系是不存在的，数学的形式和关系不能绝对地同内容无关．因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情，这就是数学的本质中的根本矛盾．这种矛盾是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现．
一般说来，思想反映世界的任何现象、任何方面、任何因素，都把这些现象、方面、因素粗糙化了，简单化了，把它们从自然界的普遍联系中割裂开了．当我们研究空间的性质、确定空间具有欧几里得几何的性质的时候，我们完成了一个极其重要的认识步骤．但是，在这之中就蕴藏着一个问题：空间的现实的性质就简单化了，公式化了，抽象得离开物质了．然而，没有这个步骤就根本不可能有几何学，正是在抽象的基础上产生了和巩固了新的几何理论．
在越来越接近现实的各个认识阶段上不断解决和重复上述的矛盾，就是认识发展的本质．数学就是这样认识的，依上升的路线前进着，发展着，不断克服它的不精确性和局限性．
6．社会条件影响着数学的发展．数学受社会和政治影响很大，几何在古希腊最发达时期的辉煌进步，代数在意大利文艺复兴时期的成就，数学分析在英国产业革命后的发展，数学在法国资产阶级革命时代的进展，苏联十月革命后的成就，我国解放后数学面貌焕然一新，这些都说明社会的进步、经济的繁荣会极大地推动数学的发展．而在中世纪黑暗的欧洲，在国民党反动统治下的中国，数学却停滞不前．
二、数学发展的趋势
在数学发展的全部历史中，一直存在着经常起作用的两种重要趋势，一种是学科不断分化的趋势，另一种是不断综合的趋势．这两种似乎是互相对立的趋势，相互联结和渗透构成了数学发展的重要方面．从数学发展来看，这两种矛盾的趋势的辩证运动表现为一个否定之否定的过程．
古代的数学实质上是一种感性直观的关于数和形的综合的科学．古时候，数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，算术、代数和几何没有彼此分开，古代任何一本著名数学著作都包括了这三方面的内容，并且把它们溶化在一起．
从十七世纪产生解析几何和微积分以后，数学分化的趋势一直居于主导地位．单一的未经分化的数学学科向许多专门分支学科发展，每一门学科所研究的都是具体完整的数学中数和形的某一方面．数学的这种不断分化到十九世纪下半叶达到了相当精细的程度，代数、几何、数学分析等学科已经形成了各自不同的研究领域，特别是分析领域的发展更是蓬蓬勃勃．每个数学家往往以毕生的精力研究其中的某个部分，根本谈不上统一的数学的图景．总之，十九世纪下半叶以前，数学本身的发展还没有达到使数学家去揭示整个数学各学科内在联系的程度．
从1872年克莱因(felix klein，1849—1925)用“群”
观点统一各种形形色色的几何开始，到康托(geargcantor，1845—1918)建立集合论和公理化运动后，越来越分化的数学开始走向综合的趋势越来越明显．到二十世纪初，数学的分化和综合这两种趋势都明显加快了．现代自然科学发展的鲜明特点是既高度分化又高度综合．从本世纪三十年代起，特别是在二次世界大战以后，在整个现代科学的发展中，综合的趋势已经占了主导地位．现代数学的发展也是如此．学科的继续分化实际上已经是综合化趋势的一种表现形式，因为新学科的不断出现正在逐步消除各学科之间的传统界限．因此，各学科更加紧密地联系起来．现代数学发展的辩证法是这样的，越是精确地理解了整体的各个方面，我们就越是接近于综合地把握各个数学部门所获得的成果．迅速分化了的各门学科，不是孤立地存在着，而是作为同一座统一的数学大厦的一个有机部分而存在着．
现代数学的高度分化和高度综合的深刻一致性，导致了现代数学的整体化的趋势，这种趋势就是：门类繁多的各门学科越来越相互渗透，紧密地联系在一起，将形成统一完整的体系；各门学科共同的语言、概念和方法正在形成；一门学科所取得的成果可以迅速地转移到其它学科去，促进和带动其它学科的发展；每一门学科都是在和整个数学体系的紧密联系中向前发展的．长期以来单科独进的孤立发展已经很困难了．当代重大的数学问题都具有高度综合的特点，必须综合运用多种学科的知识才能解决．
现代数学发展的整体化表现在以下几个方面：
1．对于数和形的概念不断深化，形成了多种多样的边缘学科，如控制论、信息论、系统论、计算机科学等．当前，尤其是计算机科学已经成为近代数学的一个新的大分支，其中包括计算方法、数据处理、逻辑设计、自动机理论、信息加工、控制过程的数学模型、软件等．这是数学研究中十分活跃的领域，发展非常迅速．计算机科学的重大突破必然将使人类在处理信息方面发生新的飞跃．
现代数学的发展，在代数、几何、分析等原有的基础学科的邻接领域产生出一系列的边缘学科．这些学科不仅没有加深各学科间的分离，而且导致了各学科的互相联系和渗透，使以前基本分离的领域互相勾通起来，并且填满了各基础学科之间中断了的部分．各门学科形成了一个牢固联系的有机整体．边缘学科不仅在相互邻接的领域产生，而且在相距很远的领域之间也不断产生．
2．基础学科互相渗透产生了许多综合性学科．例如，随机函数的微分方程的研究，产生了概率论和分析学的综合性学科分支——随机微分方程论．象这样的综合性学科分支正在不断涌现之中．这些综合性学科的出现和蓬勃发展，标志着现代科学的发展已经由学科领先阶段过渡到课题领先的新阶段．各学科之间的这种相互渗透，是数学中数和形两大基本概念紧密联系在一起的辩证法的反映．用一种或几种学科的方法研究另一种学科的研究对象是当前学科发展最有前途的方向．
数学方法在学科中转移的规律是，在研究数学中比较复杂的数和形之间的联系的比较高级形式的时候，可以采用研究数学中比较简单的数和形之间的联系的比较低级的形式的方法．因此，代数、几何、分析的概念和方法原则上可以应用于一切数学领域．充分认识这一点，对于促进新学科的建立和改造原有的古老学科具有重要的意义，在学科相互渗透已经成为数学发展主流的今天，尤其显得重要了．
3．各门科学的“数学化”，即数学同各门科学的相互渗透，是当前自然科学发展的一种趋势．
客观世界的任何一种物质形态和它的运动形式都具有空间形式和数量关系，这就决定了数学和它的方法可以普遍地运用于任何一门科学．科学认识的一般规律是，首先是对事物进行定性的研究，然后再研究它们的量的规律性．精确的定量研究使人们能够深入地认识事物的本质．因此，任何一门科学，只有在它充分地运用了数学的时候，才达到了真正完善的地步．现代科学的发展已进入了这样一个阶段，无论是自然科学、技术科学，还是各种社会科学，都普遍处于数学化的过程中，电子计算机的发展更加速了科学数学化的趋势．
科学的数学化，使得形式化的认识方法和手段在各门科学中起着越来越大的作用．科学中的新理论的抽象特征越来越加深，使得数学和其它学科交叉并且结合，出现诸如计算物理学、生物数学、经济数学、数学语言学、计算化学等等学科．这些学科又派生出许多诸如数量遗传学、数量分类学、数量进化论、分子生物数学、生物力学数学、生物统计学、生物概率论、生物运筹学、生物函数方程等小的学科分支．在生物学中，数学方法大显身手，生机勃发．这些分支学科不仅促进了各门学科的发展，而且也丰富和发展了数学学科本身．
1835年，20岁的乔治·布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书,但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德·摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的“推理 ”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。1854年，他发表了《思维规律》这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的，哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。20世纪初，罗素在《数学原理》中认为，“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。
我们知道在16世纪时，麦哲伦不畏艰难的完成了历史上重大的冒险----航行地球一圈，这个举动不仅将地理大发现带上了最高点，加强了世界的联系关系并为资本主义提供了市场。同时它也为地圆学说提出了一个客观的实证，为建立新的天文学与地理学奠定了基础，并对近代科学的发展有不可估量的意义。
但这样的实证方式，其实是有极大风险的，根据历史记载，当时一起出航的船只有5艘、水手有265人，而最后历时三年航行地球一周，却只有18人生还。因此同样的，现在场景换成是我们想了解宇宙的形状为何，我们难道也派艘太空船去航行吗?此外就目前所知，宇宙实在太大了，我们绝对不可能在资讯不足的情形下用实证方法去了解宇宙的。其实，在17世纪时，高斯在他担任测量局长的期间，曾经利用测量面积的方法也验证了地球是圆的，他利用在地表上取三点，并切割成许多小三角形，再量取每个小三角形的面积并加起來，但这样所得的结果并不近似直接用平面上的三角形面积公式算原來的三角形的结果，而是近似球面三角形的面积公式。这个想法给我们一个启发，或许即使我们不需航行宇宙，也可以以理论计算推导而知道宇宙形状。
由许多天文观测的结果我们认为宇宙应该不是平直的，直到近代，爱因斯坦的广义相对论为宇宙空间的结构提出了更圆满的解释，他提出空间的结构不可能离开物质面独立存在，空间的结构和性质取决于物质的分布，即物质的存在会使四维空间发生扭曲，引力并不是真正的力，而是时空弯曲的表现，如果物质消失，时空就回到平直的状态。因此如果我们可以证明宇宙是彎曲的，则可为爱因斯坦的理论提供更可信的数学实证。
但目前并没有发展出可以准确测量宇宙中任三点的弧长、面积的方法，所以如果未来仪器够精良，可以准确的测量宇宙中任三点的面积(例如:三颗恒星)，就可以为宇宙是平的(欧氏空间)或是一个弯曲的空间(这是广义相对论的预测)提出一个客观的证据。甚而或许由数学式的演算，可知宇宙的形状，但这应该是拓朴学的范畴了。
今天我提供的內容只是球面几何学，事实上对于一般的曲面我们就称为流形(manifold)，研究的工具是微分几何，现在教的正弦、余弦定理都是几何学上的小域性(local
property)，至于最后提的面积公式则是大域性(global
property)，它们研究的是我们身处的空间，虽然我们并没有跳出这个空间到更大的空间看我们生存的世界，但是却仍可以对这个世界的形状有一定程度的了解，据说，目前认为宇宙的形状是一个轮胎面(torus)，但应该还未定论。
高次方程有求根公式吗？
一元二次方程有求根公式工，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有类似的求根公式呢？
数学家们也曾提出过类似的问题，在意大利的数学家们之间还发生了一连串有趣的故事。
1535年，意大利数学家塔尔塔利亚与另一位数学家举行了一场数学比赛，双方各出30个三次方程的问题，限30日交卷，约定谁解出的题目多谁就获胜，结果塔尔塔利亚取得了胜利。这次胜利促使塔尔塔利亚进一步潜心研究一般三次方程的解法。1541年，他终于完全解决了三次的求解问题
意大利米兰城有个学者卡尔达诺听说塔尔塔利亚会三次方程的解法，就多次向塔尔塔利亚恳求教给他，并保证严守秘密，不告诉别人。当塔尔塔利亚把
个方法告诉了他之后，卡尔达诺却将其公开发表，因此现在还习惯称三次方程的求解公式为卡尔达诺公式。当然，塔尔塔利亚大为光火，两人为此曾展开公开论战。
一元三次方程一经解出，一元四次方程的解法很快就被卡尔达诺的学生费拉里获得。
此后两百多年的时间里，推求四次以上高次方程的解法的人不可胜数，但都没有结果。久而久之，人们怀疑这个问题难以解决。挪威数学家阿贝尔证明了一般的五次及五次以上的方程都不可能有公式解法。而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论。
伽罗瓦从置换进一步引进一个叫做“群”的概念，不仅得到阿贝尔的结果，而且能把高次方程解的具体情况彻底搞清晰，后来的科学发展表明，群的意义远远超出了解代数方程和革新代数学的范围，使得20年后的数学及100年后的物理学发生天翻地覆的变化。
观察下列等式：
30+25=55
，
552=3025
你觉得上面的结果奇妙吗？这类数有怎样的特点呢？
人们把具有这种特征的数叫做卡普列加数，即：对n位自然数n，将n2切分为两半，右边n位为一个数，左边其余各位为另一个数，如果这两个数之和恰好等于n那么称n和n2为一对卡普列加数，其中n为卡普列加底数，n2为卡普列加平方数。
相传，关于这类数还有一个故事：数学家卡普列加坐在行驶在从莫斯科到海参崴的西伯利亚铁路上，因暴雨使得前方发生塌方，为排除险情列车被迫停车，长时间的等待和闷热的天气驱使他走下列车，在百无聊赖的漫步中，他忽然看见一块铁路里程碑，木制的牌子被暴风雨劈裂，上面的里程数“3025”恰好被分开。作为数学家的卡普列加发现这个数的与众不同，一路潜心研究，收获丰厚。
囚徒困境与纳什均衡
在生活中，我们可以见到形形色色的竞争现象。对立的双方总在想方设法谋求对自己有利的最佳策略。从前，选择策略是对人的智力的考验；今天，这更变成了对人的数学能力的挑战。因为数学中的一个新兴分支——对策论，可以为决策者确定最佳策略提供强有力的数学手段和依据。1944年，匈牙利数学家冯•诺依曼与美国经济学家摩根斯登合
<对策论与经济行为>一书的出版，标志着对策论的正式诞生。
关于对策论的认识，在我国有着悠久的历史。战国时期的“田忌赛马”的故事，就是一个讲究对策的绝好范例。
对策论中有一种新型的对策方式，称为合作对策，关于合作对策有一个著名的囚徒困境问题。
囚徒困境问题是指：甲、乙是同案犯，被隔离审讯。如果两人都不招，因证据不充分，两人都只能判一个。如果只有一方招了，属立功表现，功罪相抵，无罪释放，而另一方则属抗拒从严，判10年。但如果两人都招了，则各判5年，结果大家都知道：两个争先恐后地招了，各自判了5年。
博弈论研究人们的策略互动行为，博弈论认为：人是理性的，人人都会在约束条件下最大化自身的利益；人们在交往合作中有冲突，行为互相影响，而且信息不对称。
博弈论研究人们的行为在直接相互作用时的决策，以及决策的均衡问题。
经济学中一个核心的概念叫纳什均衡。纳什被认为是一位数学天才，他在21时就提出了纳什均衡理论，后来成为博弈论的两大基础之一，他的名字早已写进数学和经济学的教科书。但30岁后，他不幸出现了精神分裂，从学术界消失。令人惊奇的是，在他的妻子艾丽亚的护理下，纳什30年后又逐渐恢复了健康，并于1994年获得了诺贝尔经济学奖。获得了2002年奥斯卡最佳故事片的影片<美丽心灵>正是根据他的传奇经历改编的。
纳什描绘的均衡画面是：当利益相争时，第个人都按这样一种原则做，如果别人不改变策略，仅靠个人单方面改变策略时，不可能增加自身收益，或者说谁也不再有主动改变自己策略的积极性，这就达到了一种均衡状态。
逻辑代数又称“布尔代数”，是以它的创立者——英国数学家、逻辑学家布尔（1815——1864）而命名的。
1815年布尔出生于英国林肯郡，由于家境贫困，布尔只上完了小学和短时间的商业学校，他的成绩是源于刻苦自学。
布尔的主要贡献在于利用代数的方法来研究推理、证明等逻辑问题，建立了代数学的一个分支，为逻辑学的研究奠定了数学基础。
1847年，布尔出版了<逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法>，布尔创造了一套符号系统并建立了一系列的运算法则，使人们可以用符号来表示逻辑中的各种概念，并用代数的方法研究逻辑问题，他把逻辑简化为极为简单的一种代数。其规定：所有可能出现的数只有0和1两个，基本运算只有“与”、“或”、“非”三种，这使逻辑本身受数学的支配。
1854年，布尔又出版了<思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础>。这部杰作圆满地讨论了逻辑的数学化问题，奠定了现在所谓的数理逻辑的基础，正是数学上的逻辑代数为数学计算机的产生奠定了基础。
在“布尔代数”里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用基础的逻辑符号系统来描述物体和概念。它使代数彻底摆脱了算术的束缚，为近代抽象代数奠定了基础。这种代数不仅广泛用于概率和统计等领域，更重要的是，它为数字计算机开关电路设计提供了最重要的数学方法。近几十年来，布尔代数在自动化系统和计算机科学中已被广泛应用。因而“布尔代数”被称为数字化生存的源头。
世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。
当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”
中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。
根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π=
三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是π的不足近似值。
刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14这个数值叫做“徽率”。
到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算，达到了空前的高峰，他算出3.1415926＜π＜3.1415927。
在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。
“祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(al——kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值：约率是
在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。
π是一个什么样的数呢？
π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一个无理数。
法国数学家勒让德(legendre，1752-1833)曾猜测说：“π不是有理系数方程的根”。后来，人们把有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。
在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如π和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。
e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873年，法国数学家埃尔米特(hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难。他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882年，英国数学家林德曼(f.lindemann，1852-1939)证明了π是超越的，从而解决了一些几何作图问题。
π=3.1415926…又是一个神秘的数字。
有人发现，π的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7个自然数之和。
1=1；
1+4+1=1+2+3=6
1+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28。
这真是惊人的巧合！
π的前6个有效数字314159是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10)，它也是一个素数！
有趣的是，把前6个有效数字分成三个两位数：31、41、59，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生素数是指相差为2的两个素数)：29与31，41与43，59与61是三对孪生素数。
深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，π的小数点后从13位数字开始，连续的十八个数字具有相当的对称性：